孙子巧解“鸡兔同笼”

大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题:今有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?这四句的意思就是:有若干只鸡和兔在同一个笼子里,从上面数,有三十五个头;从下面数,有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔?同学们,你会解答这个问题吗?你知道孙子是如何解答这个鸡兔同笼问题的?

原来孙子提出了大胆的设想。他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了独脚鸡,而每只兔就变成了双脚兔。这样,独脚鸡和双脚兔的脚就由94只变成了47只;而每只鸡的头数与脚数之比变为1:1,每只兔的头数与脚数之比变为1:2。由此可知,有一只双脚兔,脚的数量就会比头的数量多1。所以,独脚鸡和双脚兔的脚的数量与他们的头的数量之差,就是兔子的只数,即:47-35=12(只);鸡的数量就是:35-12=23(只)。

当然,这道题还可以用方程来解答。我们可以先设兔的只数(也就是头数)是x,因为鸡头+兔头=35,所以鸡头=35-x。由此可知,有x只兔,应该有4x只兔脚,而鸡的只数是(35-x),所以应该有2(35-x)只鸡脚。现在已知鸡兔的脚总共是94只,因此,我们可以列出下面的关系式:

4x+2(35-x)=94

x=12

于是可以算出鸡的只数是35-12=23。

还有一道这样的题:100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个,小和尚3人吃一个。求大、小和尚各多少个?它的答案是大和尚有25个,小和尚有75个。你知道是怎样算的吗?